Пусть AK  — бис­сек­три­са угла A. От­ме­тим, что тре­уголь­ник ACK  — пря­мо­уголь­ный и на­про­тив угла CAK лежит катет CK, ко­то­рый равен по­ло­ви­не ис­ко­мой бис­сек­три­сы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CAK имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Тре­уголь­ни­ки MBN и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му а тогда

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник имеет два оди­на­ко­вых угла. Най­дем в каж­дом тре­уголь­ни­ке не­из­вест­ный угол:

1)    — все углы раз­ные.

2)    — все углы раз­ные.

3)    — тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный.

4)    — все углы раз­ные.

5)    — все углы раз­ные.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Про­ве­дем из вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­по­лож­ной ос­но­ва­нию b, вы­со­ту h. От­ме­тим, что дан­ная вы­со­та яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, и бис­сек­три­сой.

Най­дем синус по­ло­вин­но­го угла (угла между бо­ко­вой сто­ро­ной и вы­со­той тре­уголь­ни­ка): где Тогда:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­лу­про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му най­дем бо­ко­вую сто­ро­ну a: Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна:

Ответ: 75.

Введём обо­зна­че­ния как на ри­сун­ке. Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов: от­ку­да Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHC имеем:

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние. Можно было бы за­ме­тить, что угол BCA равен 30°, а катет, про­ти­во­ле­жа­щий углу 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы.

Вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B  — BH. Тре­уголь­ни­ки AOH и ADC по­доб­ны по двум углам и AH  =  HC  =   по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. По­это­му:

Тогда:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

За­ме­тим, что Таким об­ра­зом, и

Тре­уголь­ни­ки OM₁P₁ и OPM по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ни­ки OM₁K₁ и OMK по­доб­ны, а также по­доб­ны тре­уголь­ни­ки OP₁K₁ и OPK.

По­сколь­ку и тре­уголь­ни­ки M₁K₁P₁ и MKP по­доб­ны, по­лу­ча­ем Тогда Тогда точка B обой­дет пе­ри­метр 56 раз.

Ответ: 56.

Со­глас­но тео­ре­ме о бис­сек­три­се, бис­сек­три­са при вер­ши­не тре­уголь­ни­ка делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на части, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам, т. е.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Если квад­рат мак­си­маль­ной сто­ро­ны мень­ше суммы квад­ра­тов дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка, зна­чит, он яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным. Рас­смот­рим каж­дый из тре­уголь­ни­ков.

1)  В тре­уголь­ни­ке : зна­чит, тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

2)  В тре­уголь­ни­ке : зна­чит, тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

3)  В тре­уголь­ни­ке : зна­чит, тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

4)  В тре­уголь­ни­ке : зна­чит, тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный.

5)  В тре­уголь­ни­ке : зна­чит, тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна Зна­чит,   — рав­но­бед­рен­ный, а сто­ро­ны AB и BC равны. По­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, за­клю­чим, что и

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ни­ки ADE и ACB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Из со­от­но­ше­ния

най­дем синус нуж­но­го нам угла. По­лу­чим:

Най­дем из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков:

Ответ: 15.

Из опре­де­ле­ния ко­тан­ген­са: Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра: Под­ста­вим одно вы­ра­же­ние в дру­гое и решим урав­не­ние:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

За­ме­тим, что по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые AB и MN па­рал­лель­ны, тогда Так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, Угол ANM вер­ти­каль­ный с най­ден­ным. Зна­чит, он равен

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMH и ASO: от­ку­да Точка O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, в нее про­еци­ру­ет­ся вы­со­та SO. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a, тогда вы­со­та Из свой­ства бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке SLA:

Тре­уголь­ник SLO  — пря­мо­уголь­ный,

Тогда

Ответ: 28.

По­сколь­ку тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AB, углы CBA и BAC равны. Тогда

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

По фор­му­ле пло­ща­ди пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­ку­да ab  =  4. За­ме­тим, что по свой­ству окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, длина ги­по­те­ну­зы равна 2R, тогда

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ту BH. Най­дем:

Зна­чит,

и

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Далее, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 324.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBH по­лу­ча­ем и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBA по­лу­ча­ем и сле­до­ва­тель­но,

По­сколь­ку точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся цен­тром его впи­сан­ной окруж­но­сти, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно ра­ди­у­су этой окруж­но­сти и может быть вы­чис­ле­но по фор­му­ле

Ответ: А3Б6В5.

Из усло­вия сле­ду­ет, что По свой­ству бис­сек­три­сы по­лу­ча­ем, что Зна­чит, если то

Пусть точка I  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда по свой­ству бис­сек­три­сы Зна­чит, можно счи­тать, что ско­рость пер­во­го тела равна 5υ, а вто­ро­го 3υ. Время дви­же­ния об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но ско­ро­сти, из усло­вия сле­ду­ет, что

Упро­щая, по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Ответ: 185.